詳細論述了千斤頂與壓力表校驗張拉力與表值回歸分析法。

規(guī)范規(guī)定，預應力混凝土用千斤頂與壓力表的定期檢測時，兩者應視為一個單元，同時校驗，配套校驗，其目的為確定千斤頂張拉力（kN)與壓力表讀數(shù)（MPa)之間的關系曲線。校驗單位用標準測力儀對千斤頂進行力值校驗，得出壓力表讀數(shù)值（以下簡稱表值）和與其對應的標準測力儀顯示值（下簡稱力值）。以某頂號為2013，表號為7707的校驗數(shù)據(jù)為例，進行回歸分析，以揭示由實驗檢測結果反映物理量力值與表值之間關系的內在規(guī)律，并找出它們之間的定量表達式-回歸方程。

1.回歸分析

實驗已證明，千斤頂拉力值與壓力表讀數(shù)值之間回歸關系是一元線性回歸，也可以從散點圖觀察得知。我們根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，找出千斤頂拉力（設為y)和表值(設為x)兩個變量間的經(jīng)驗公式：

y=b+ax(1)

(1)式就叫做y對x的回歸線（也就是回歸方程)

由于建立兩個變量間直線關系的方法有多種，所以不同人，用不同方法，所得到的系數(shù)a、b可能不同。下面介紹建立兩個變量y、x之間直線關系式的幾種常用方法，供大家參考和比較使用。

(1)作圖法:以表1值為例在坐標紙上作圖，以橫坐標代表表值，以縱坐標代表力值，將表1中10對測試值繪于圖，可得10個點，通過10點劃過一直線使兩邊分布均勻，這條直線表示y=b+ax，就是力值與表值的相關式，延長

直線使之與縱坐標y軸相交，這個交點至零點（坐標原點）的距離即為截距b值，直線與x軸交角a的正切，即為斜率，斜率a=tgx=Ay/Ax。以表1值求a值，可以量取圖上Ay、Ax長度，也可量a角，也可選任意兩點計算，如表1的第2和第8組計算：a=Ay/Ax=(821.8-126.4)/(42-6)=695.4/36=19.32

b=0(第1組x=0，y=0)這時力值與表值的關系式y(tǒng)=b+19.32x(2)

值得注意的是用作圖法求兩個變量之間直線經(jīng)驗公式時，特別要注意b與a的正負號，當因變量y隨自變量x增大而增大，或隨x值減小而減小時則斜率為正號，反之為負值，其相關系數(shù)Y可用后面將介紹的簡易近似法求得，本例：丫=-cos(10/10)n=1

（2）選點法

先將力值與表值重新按大小次序排列（本例已按大小順序排列），在10對測試值中大小向兩端任選一對測試值，建聯(lián)立方程:y1=b+ax[y2=b+ax,

如選第2對和第8對測試值，解聯(lián)立方程126.4=b+a>6821.6=b+aX42求得b=1.05a=19.3166

則相關關系式為：y=1.05+19.3116x(3)

（3）平均法

把各組值按大小排列，再分成前5對為一組，后5對為另一組，求出兩組測試值x和y的算術平均值，x和y。

第1組X1=60.1yi=1190.1

第2組X2=208.0=4067.8

解聯(lián)立方程1190.1=b+60a

4067.8=b+208a

得a=19.443,b=2.36

就可得出直線關系式：y=236+19.443x(4)

(4)最小二乘法

最小二乘法原理是使各測得值與統(tǒng)計所得到的關系直線間的誤差平方和為最小,這是一種常用的統(tǒng)計方法。

計算結果a=19.426,b=5.15,相關關系式為y=5.15+19.426x(5)

上述4種求直線方程的方法都可應用，比較4種方法得出的關系式可以看出，b值相差多,而a值相近,所以相差不是很大,下面任選幾組值代入進行粗略檢驗,如選第6組實測值：

以x=30代入(2)y=0+19.32X30=579.6,其與實驗‘真值”=589.3,誤差為1.6%。

以x=30代入（3)得出y=1.05+19.3116X30=580.5,其與實驗真值”y=589.3,誤差為1.5%。

以x=30代入（4)得出y=2.36+19.44X30=585.6,其與實驗真值”y=589.3,誤差為0.6%。

以x=30代入（5)得出y=5.15+19.426X30=587.8,其與實驗“真值”y=589.3,誤差為0.25%。

由于這4種方法求得的相關系數(shù)都近似于1。利用表1數(shù)據(jù)不用求相關回歸方程,直接內插更為方便準確,這也是規(guī)范不要求必須求回歸方程,而檢測單元也提示“對所需要的負荷點,可通過內插法求得的原因。

2.線性回歸方程的效果檢驗

(1)相關系數(shù)檢驗:在實際工作中,只有當x和y之間存在某種線性關系,所配出的直線才有意義。檢驗回歸線有無意義。數(shù)學上引進相關系數(shù)T這個量，Y的絕對值越接近1,x與y的線性關系越好，如果T接近于0,則認為x與y之間沒有線性關系，但不排除x與y之間有非線性關系，T的正負號取決于回歸線斜率a的符號,對所分析的自變量x和因變量y,只有當相關系數(shù)Y的絕對值大于一定程度,才可能用回歸線來表示他們之間的關系,這要通過‘相關系數(shù)檢驗表”檢驗,表中數(shù)叫做相關系數(shù)起碼值,只有求出相關系數(shù)大于表中數(shù),才能考慮用直線來表述x與y的關系，‘相關系數(shù)檢驗表”一般數(shù)理統(tǒng)計書中都有,今摘錄如表2。

可以看出測試的組越多,起碼值越小,某標千斤頂與壓力表值得相關系數(shù)Y遠大于表2的起碼值0.632和0.765,說明直線關系數(shù)非常明顯、密切,這也是檢測單元說明中不用求回歸方程,可直接用內插法求解的依據(jù)。

(2)回歸方程效果檢驗

前面已述，回歸方程在一定程度上反映兩個量之間的內在規(guī)律,但在求出回歸方程后,如何利用它,根據(jù)自變量x的取值來控制因變量y的取值,以及控制精度如何等,都是我們所要關心的。確定a、b的數(shù)值后建立了方程，yt=b+ax；從公式中知道對每個給定的自變量&值就有兩個y；值,即實測值y；和推定值（或稱預測值、估計值）y',他們之間誤差A=y；-y；。(上面幾種回歸分析,我們已舉例算出代表點的誤差）所以有必要進行線性回歸方程的效果檢驗。數(shù)理統(tǒng)計理論已證明標準差愈小，回歸方程預報的值愈精確(按正態(tài)分布有95.4%的y值落在y=b±2s+ax之間，本例樣本標準差Sx=1.784)。

綜上所述,通過回歸分析、相關系數(shù)的顯著性檢驗和回歸方程的檢驗,可知實測數(shù)據(jù)與回歸方程的相關密切程度,主要由相關系數(shù)T來判斷，T愈接近于1,說明相關愈密切。對回歸方程所揭示的規(guī)律性是否明顯,以標準差s來表示,s愈小,說明回歸方程預報越精確,反之亦然。

應該指出,在實際問題中,有時自變量和因變量之間不一定是線性關系,而可能是某種非線性關系，這類非線性問題可以通過變量變換,轉化為線性回歸模型來解決,本例千斤頂拉力和壓力表值關系用一元回歸分析計算,這只是線性回歸中最簡單的情況,在絕大多數(shù)實際問題中,影響因變量的因素往往不止一個,而是多個,這就需要用多元回歸分析來解決,而多元回歸分析原理與一元回歸分析基本相同，只是計算上復雜一點，實際操作上,二元回歸問題，只要借用簡單計算器就可以輕易地建立二元回歸方程，y=a+b?x+cx；,同時求得復相關系數(shù)R。

3.相關系數(shù)簡易、近似求法

將U,y)多組值在平面上作圖（圖1),作垂線A將點子左右均分,再作水平線B將點子上下均分，

盡量使A、B線上無點,若右上,左上、左下、右下點數(shù)分別為n,巧，巧，nt,則了=-cos[(n+n,)/Sn]n。

本例n=5,n,=n,=0,n,=5Y=-cos[(n+n,)/6n]n=-cos[(5+5)/

10]宂=1

至于因為相關系數(shù)T小于某個值如0.9999應進行“單點值標定”要弄清這個要求是否有必要，本人認為應首先弄清以下幾點：

（1）何為“單點值標定”單點值是否理解為因為檢定時標準測力儀顯示值與壓力表讀數(shù)值,線性回歸，T不符合要求,就采用視需要的各張拉值,確定對應的表標值做梁張拉時控制的依據(jù),這種做法實際上是說校準檢驗時，x、y回歸上存在大的誤差，使得相關系數(shù)T不符合要求,實際上回歸分析對不同點數(shù)n,有不同檢驗起碼值要求。例如:只有3個點，P=1時T=0.9999也是不符合直線回歸條件的。單點標定必須保證誤差不能出現(xiàn)在單點值上，這種做法等于放棄保證率可達95%以上數(shù)理統(tǒng)計法,而采用保證率只有50%單點計算法。

（2）“單點值標定”在梁片張拉時的適用性單片梁張拉至少要單點標定10%(Tk、20%(Tk和100%k三個點,而一個制梁場梁片有多種,就得每一種梁都在這個千斤頂、壓力表上有三個校準值,這些孤立點間是否也要有建立相關系數(shù)的必要？

（3）標定時,標準測力儀顯示值準確到百分位,壓力表讀數(shù)值為整數(shù)位,也就是說表值保留有一位可疑數(shù)字,即有±1個單位（MPa)誤差。

我們試做以下計算,將最小二乘法得到的回歸方程y=5.15+19.426x,用y的計算值y=587.8代入求x=29.9933MPa,而單點x真值x=30,誤差A=30-29.9933=0.0067(MPa),這與檢定表值誤差0.5MPa相差兩個數(shù)量級,而且0.0067MPa這個值在壓力表上根本反應不出來(表刻度值為1MPa)。